Media Geogebra Martin Bernard

Limit

Definisi 1

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri.

$Limit\;fungsi\;f\;di\;c\;adalah\;L\;(dituliskan\;\lim_{x\to c}f(x)=L\;atau\;f(x)\to L\;bila\;x\to c)$

jika

$\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0\;\ni\;0<|x-c|<\delta\;\to\;|f(x)-L|<\epsilon$

Untuk lebih jelas perhatikan gambar di bawah ini, lalu coba gerakan slidernya semakin delta mendekati nol, epsilonnya juga mendekati 0

Untuk memahaminya Anda dapat menggantikan fungsi dan nilai mendekati x dengan menekan link di bawah ini.

Tekan Alamat ini

Sifat-sifat Limit Fungsi suatu titik

1. Ketunggalan Limit

$Jika\;\lim_{x\to\;c}f(x)=L\;dan\;\lim_{x\to\;c}f(x)=M,\;maka\;L=M$

2. Operasi Aljabar Limit

$Jika\;\lim_{x\to\;c}f(x)=L\;dan\;\lim_{x\to\;c}g(x)=M,\;maka$
$(a)\lim_{x\to\;c}(f(x)+g(x))=L+M=\lim_{x\to\;c}f(x)+\lim_{x\to\;c}g(x)\\(b)\lim_{x\to c}(f(x)-g(x))=L-M=\lim_{x\to c}f(x)-\lim_{x\to c}g(x)$

Aplikasi Fungsi Turunan Terhadap Kecepatan

A. Persoalan Perubahan Luas Permukaan Air Terhadap Kenaikan Air

Sebuah tangki berbentuk setengah bola dengan jari-jari 8 meter penuh berisi air. Kemudian air keluar dari bawah tangki dengan laju 0,5 meter/jam. Seberapa cepat permukaan air berubah pada saat tangki permukaan air 3 meter?

Sebelum kita memecahkan persoalan di atas lebih baik kita menjelaskan secara teori. Proses pertama adalah yang diketahu dari informasi dari soal di atas yaitu jari-jari kita beri simbol R = 8 meter., kemudian diketahui juga laju air kita beri simbol

$\frac{dh}{dt}=0.5\;meter/jam$

setelah itu akan dicari cepat permukaan air atau kita simbolkan

$\frac{dA}{dt}=?$

pada saat tinggi atau kita simbolkan dengan h = 3 meter

Perhatikan gambar di bawah ini

Untuk persamaan didapatkan

$z=R-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$

z adalah ketinggian yaitu h itu sendiri

$sedangkan\;x^{2}+y^{2}\;adalah\;r^{2}\;dan\;R=8$

atau kita subtitusikan mejadi

$h=8-\sqrt{8^2-r^{2}}$

Kita ketahui bahwa Luas Permukaan A dirumuskan sebagai berikut

$A=\pi\times\;r^{2}$

nilai r akan digantikan dengan satuan h yaitu

$r^{2}=8^{2}-(8-h)^{2}$

$r^{2}=64-(64-16h+h^{2})=16h-h^{2}$

Subtitusikan terhadap A

$A=\pi\times\;(16h-h^{2})$

Lalu untuk kelajuan luas permukaan terhadap ketinggian

$\frac{dA}{dh}=\pi\times\;(16-2h)$

Ketika h = 3

$\frac{dA}{dh}=\pi\times\;(16-2(3))=10\pi$

Untuk kelajuan Permukaan terhadap kelajuan ketinggian air

$\frac{dA}{dt}=10\pi\frac{dh}{dt}$

diketahui bahwa

$\frac{dh}{dt}=0,5\;meter/detik$

$\frac{dA}{dt}=10\pi\;(0,5)=5\pi$

Memahami prosesnya dapat dilihat dari media Geogebra berikut ini:

Untuk memasukan jari-jari bola masukan jari-jari bola pada inputbox
Untuk ketinggian air gunakan slider (c)
untuk selisih ketinggian air masukan perubahan ketinggian air semakin mendekati 0 semakin presisi kecepatan permukaan air dan kecepatan ketinggian air
Untuk memasukan kecepatan ketinggian air masukan pada inputbox.
Lalu geser-geser c sesuai ketinggian yang diminta lihat perubahannya.

B. Persoalan Perubahan Volume Tabung

Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detik, Sementara tingginya turun dengan laju 0,5 cm/detik. Carilah laju perubahan volume pada saat r = 8 cm dan h = 12 cm.

Penyelesaian

Radius selinder kita lambangkan dengan r.

$sedangkan\;lajunya\;\frac{dr}{dt}=0.2\;cm/detik$

Tinggi silinder kita lambangkan dengan h.

$sedangkan\;lajunya\;\frac{dh}{dt}=0,5 cm/detik$

ditanyakan laju perubahan volume r = 8 cm dan h=12 cm.

$kita\;lambangkan\;laju\;perubahan\;volume\;\frac{dV}{dt}=?\;yang\;ditanyakan$

kita ketahui bahwa volume silinder adalah

$V=\pi\;r^{2}\;h$

Untuk kelajuan volume terhadap waktu adalah

$\frac{dV}{dt}=\frac{d(\pi\;r^2\;h)}{dt}=\pi(\frac{d(r^{2})}{dt}h+r^{2}\frac{dh}{dt})$

$\frac{dV}{dt}=\pi\;(2r)h\frac{dr}{dt}+\pi\;r^{2}\;\frac{dh}{dt}=2\pi\;r\;h\;\frac{dr}{dt}+\pi\;r^{2}\;\frac{dh}{dt}$

Subtitusikan dengan yang diketahui

$\frac{dV}{dt}=2\pi\;(8)(12)(0,2)+\pi\;(8)^{2}(-0,5)$

h = -0,5 karena lajunya turun

$\frac{dV}{dt}=38,4\pi-32\pi\;=6,4\pi$

Perhatikan Gambar Geogebra di bawah ini (Silahkan mainkan slidernya)

C. Persoalan Perubahan Panjang.

Ketinggian dari sebuah segi tiga bertambah pada laju 1 cm/menit, sementara bidang segitiganya bertambah pada laju 2 cm²/menit. pada laju berapakah dasar segi tiganya berubah ketika ketinggiannya 10 cm dan bidangnya adalah 100 cm²

Diketahui laju dari ketinggian segitiga bertambah 1 cm/menit, dapat kita lambangkan dengan

$\frac{dh}{dt}=1\;cm/menit$

Sedangkan luasan bertambah laju 2 cm²/menit, dapat kita lambangkan dengan

$\frac{dA}{dt}=2\; cm^{2}/menit$

Ditanyakan laju panjang alas ketika h = 10 cm, dan luas = 100 cm²

Proses Perhitungan

Seperti kita ketahui bahwa luas (A) segitiga adalah

$A=\frac{1}{2}W.h$

Lalu diperoleh rumus W

$W=2\frac{A}{h}$

untuk menentukan laju pertambahan alas W, turunan W terhadap t

$\frac{dW}{dt}=2(\frac{1}{h}\frac{\delta{A}}{\delta{t}}-\frac{A}{h^{2}}\frac{\delta{h}}{\delta{t}})$

$\frac{dW}{dt}=2(\frac{1}{10}(2)-\frac{100}{10^{2}}(1))$

$\frac{dW}{dt}=2(0,2-1)=2(0,8)=1,6\;cm/menit$

Perhatikan Geogebra di bawah ini! (Mainkan Slidernya)

Mencari Nilai Maksimal dan Minimal

1. Jumlah dua bilangan untuk mendapatkan hasil kali maksimum

Diketahui bahwa jumlah dan panjang dan lebar

J = P + l

Tentukan nilai maksimal dari hasil kali panjang (P) dan lebar (l)

Diketahui

J = P + l

diperoleh P = J - l

sedangkan hasil perkalian (L)

$L= (j-l)\times\;l$

P subtitusikan

$L= (J-l)\times\;l$

$L= (j-l)\times\;l$

Untuk mendapatkan hasil perkalian maksimum bahwa

$\frac{dL}{dl}=0$

$\frac{dL}{dl}=J-2\times\;l=0$

$l=\frac{J}{2}$

untuk mencari panjang

$P=J-\frac{J}{2}=\frac{J}{2}$

Sehingga Luas maksimum adalah

$L_{max}=\frac{J}{2}\times\;\frac{J}{2}=\frac{J^{2}}{4}$

2. Diketahui selisih dua bilangan dan mencari hasil kali keduanya minimum.

Diketahui bahwa dua bilangan dan hasil dari selisih dari kedua bilangan (S)

$S=A-B$

$A=S+B$

Dicari hasil kali minimum (K)

$K=A\times\;B$

Subtitusikan bilangan A ke dalam K

$K=(S+B)\times\;B$

$K=S\times\;B+B^{2}$

Syarat untuk mendapatkan nilai K minimum adalah

$\frac{dK}{dA}=0$

$\frac{dK}{dB}=S+2\times\;B=0$

$B=-\frac{S}{2}$

$A=S+(-\frac{S}{2})=S-\frac{S}{2}=\frac{1}{2}\;S$ ,

3. Mencari titik pada garis yang letaknya paling dekat dengan titik asal

Misalkan persamaan garis adalah

$y=ax+b$

Ada sebuah titik asal di luar dari garis tersebut yaitu

$A(0,0)$

Pada gambar menjelaskan bahwa jarak titik ke garis, jika ditarik garis dari titik A ke garis y = ax+b, dan memotong garis tersebut membentuk sudut tegak lurus, maka ruas garis tersebut merupakan letak terdekat dari titik. Namun, kita perlu membuktikan dari teori di atas tersebut.

Langkah Pertama

Ambil sembarang titik B di persamaan garis misalkan

$B(x,y)$

Subtitusikan y pada titik B

$B(x,ax+b)$

Langkah Kedua

Sedangkan untuk menentukan jarak D

$D^{2}=x^{2}+y^{2}=x^2+(ax+b)^{2}$

$D^{2}=x^2+a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}$

Langkah ketiga

Syarat nilai minimum

$\frac{dD}{dx}=0$

$D\frac{dD}{dx}=2x+2a^{2}x+2ab=2x(1+a^{2})+2ab=0$

$2x(1+a^{2})=-2ab$

$x(1+a^{2})=-ab$

$x=\frac{-ab}{1+a^{2}}$

Sedangkan untuk y

$y=ax+b=a(\frac{-ab}{1+a^{2}})+b=\frac{-a^{2}b}{1+a^{2}}+b$

$y=\frac{-a^{2}b}{1+a^{2}}+b=\frac{-a^{2}b+b+a^{2}b}{1+a^{2}}$

$y=\frac{b}{1+a^{2}}$

Menentukan Jarak D

$D^{2}=x^{2}+y^{2}=(\frac{-ab}{1+a^{2}})^{2}+(\frac{b}{1+a^{2}})^{2}=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}}{(1+a^{2})^{2}}$

$D^{2}=\frac{b^{2}(1+a^{2})}{(1+a^{2})^{2}}$

$D^{2}=\frac{b^{2}}{1+a^{2}}$

$D=\sqrt{\frac{b^{2}}{1+a^{2}}}$

$D=\frac{b}{\sqrt{1+a^{2}}}$

Untuk lebih jelas masukan persamaan garis dan sebuah titik, setelah itu, tekan tombol yang berlabel langkah-langkah untuk melihat hasil jarak terdekat dari sebuah titik ke persamaan garis.

Untuk melihat proses masukan terlebih dahulu persamaan garis dan sebuah titik lalu tekan tombol "langkah-langkah".

Media Geogebra Martin Bernard

Popular Posts

Popular Posts

Author Social Links

Social Media Icons

Top Navigation Menu

Main Navigation Menu

Laporkan Penyalahgunaan

About Me

Formulir Kontak

Cari Blog Ini

Archive

Bottom Ad [Post Page]

Iklan

Iklan

Recent

Comments

Eksplorasi Geogebra

Post Page Advertisement [Top]

Keep Traveling

Climb the mountains

Laman

Author Description

Travel the world

Full width home advertisement

About