Aplikasi Fungsi Turunan terhadap Kecepatan atau perubahan

Aplikasi Fungsi Turunan Terhadap Kecepatan

A. Persoalan Perubahan Luas Permukaan Air Terhadap Kenaikan Air

Sebuah tangki berbentuk setengah bola dengan jari-jari 8 meter penuh berisi air. Kemudian air keluar dari bawah tangki dengan laju 0,5 meter/jam. Seberapa cepat permukaan air berubah pada saat tangki permukaan air 3 meter?

Sebelum kita memecahkan persoalan di atas lebih baik kita menjelaskan secara teori. Proses pertama adalah yang diketahu dari informasi dari soal di atas yaitu jari-jari kita beri simbol R = 8 meter., kemudian diketahui juga laju air kita beri simbol

$\frac{dh}{dt}=0.5\;meter/jam$

setelah itu akan dicari cepat permukaan air atau kita simbolkan

$\frac{dA}{dt}=?$

pada saat tinggi atau kita simbolkan dengan h = 3 meter

Perhatikan gambar di bawah ini

Untuk persamaan didapatkan

$z=R-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$

z adalah ketinggian yaitu h itu sendiri

$sedangkan\;x^{2}+y^{2}\;adalah\;r^{2}\;dan\;R=8$

atau kita subtitusikan mejadi

$h=8-\sqrt{8^2-r^{2}}$

Kita ketahui bahwa Luas Permukaan A dirumuskan sebagai berikut

$A=\pi\times\;r^{2}$

nilai r akan digantikan dengan satuan h yaitu

$r^{2}=8^{2}-(8-h)^{2}$

$r^{2}=64-(64-16h+h^{2})=16h-h^{2}$

Subtitusikan terhadap A

$A=\pi\times\;(16h-h^{2})$

Lalu untuk kelajuan luas permukaan terhadap ketinggian

$\frac{dA}{dh}=\pi\times\;(16-2h)$

Ketika h = 3

$\frac{dA}{dh}=\pi\times\;(16-2(3))=10\pi$

Untuk kelajuan Permukaan terhadap kelajuan ketinggian air

$\frac{dA}{dt}=10\pi\frac{dh}{dt}$

diketahui bahwa

$\frac{dh}{dt}=0,5\;meter/detik$

$\frac{dA}{dt}=10\pi\;(0,5)=5\pi$

Memahami prosesnya dapat dilihat dari media Geogebra berikut ini:

Untuk memasukan jari-jari bola masukan jari-jari bola pada inputbox
Untuk ketinggian air gunakan slider (c)
untuk selisih ketinggian air masukan perubahan ketinggian air semakin mendekati 0 semakin presisi kecepatan permukaan air dan kecepatan ketinggian air
Untuk memasukan kecepatan ketinggian air masukan pada inputbox.
Lalu geser-geser c sesuai ketinggian yang diminta lihat perubahannya.

B. Persoalan Perubahan Volume Tabung

Radius silinder meningkat dengan laju 0,2 cm/detik, Sementara tingginya turun dengan laju 0,5 cm/detik. Carilah laju perubahan volume pada saat r = 8 cm dan h = 12 cm.

Penyelesaian

Radius selinder kita lambangkan dengan r.

$sedangkan\;lajunya\;\frac{dr}{dt}=0.2\;cm/detik$

Tinggi silinder kita lambangkan dengan h.

$sedangkan\;lajunya\;\frac{dh}{dt}=0,5 cm/detik$

ditanyakan laju perubahan volume r = 8 cm dan h=12 cm.

$kita\;lambangkan\;laju\;perubahan\;volume\;\frac{dV}{dt}=?\;yang\;ditanyakan$

kita ketahui bahwa volume silinder adalah

$V=\pi\;r^{2}\;h$

Untuk kelajuan volume terhadap waktu adalah

$\frac{dV}{dt}=\frac{d(\pi\;r^2\;h)}{dt}=\pi(\frac{d(r^{2})}{dt}h+r^{2}\frac{dh}{dt})$

$\frac{dV}{dt}=\pi\;(2r)h\frac{dr}{dt}+\pi\;r^{2}\;\frac{dh}{dt}=2\pi\;r\;h\;\frac{dr}{dt}+\pi\;r^{2}\;\frac{dh}{dt}$

Subtitusikan dengan yang diketahui

$\frac{dV}{dt}=2\pi\;(8)(12)(0,2)+\pi\;(8)^{2}(-0,5)$

h = -0,5 karena lajunya turun

$\frac{dV}{dt}=38,4\pi-32\pi\;=6,4\pi$

Perhatikan Gambar Geogebra di bawah ini (Silahkan mainkan slidernya)

C. Persoalan Perubahan Panjang.

Ketinggian dari sebuah segi tiga bertambah pada laju 1 cm/menit, sementara bidang segitiganya bertambah pada laju 2 cm²/menit. pada laju berapakah dasar segi tiganya berubah ketika ketinggiannya 10 cm dan bidangnya adalah 100 cm²